[解説] まずは『素数の定義』・・・素数とは、1より大きい自然数で正の約数が “1と自分自身のみ” であるもののことです。
結果的に素数の正の約数は2個（1と自分自身）であるという特徴を持っています。 素数を小さいほうから並べれば
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,・・・・（100までに25個）・・・素数は無限にあります。（後述）
これらのうち[問題]の条件を満たす双子素数とそれらに挟まれた数を取り出して見ると
5, 6, 7 11, 12, 13 17, 18, 19 41, 42, 43 71, 72, 73
となりますが、6 12 18 42 72 はすべて6の倍数ですね。問題はこの後も同様のことがどこまでも成り立つのか（後述）という点です。つまり “一般性”を持たせるにはどうしたらいいかという点です。こういうことは数学は得意で表現方法は工夫されています。
例を見てください。 ある6の倍数（例えば12）から6進むと次の6倍数（12＋6＝18）になりますので 12〜18までの自然数は
12, 12+1, 12+2, 12+3, 12+4, 18-1, 18 と表現できます。
（証明）5以上のすべての整数は
6n-1, 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4 と表すことができます。 （ただし、n=1, 2, 3, 4, ・・・）
このうち、6n, 6n+2, 6n+4 は 1と自分自身以外に 2を約数に持ちます。
また 6n+3 は 1と自分自身以外に 3を約数に持ちます。
つまり、3個以上の約数を持つので素数ではあり得ません。
よって素数である可能性があるのは 6n-1, 6n+1 であり、もしこれらがともに素数であったとするとそれはお互いに双子素数（差が2）ということになります。
このとき、間に挟まれた整数はというと 6n です。これは確かに6の倍数ですね。以上で問題文の内容は証明されたことになります。
（後述）について・・・素数は無限にあることは証明されています。双子素数に関しては無限にあるか有限なのかは証明されていません。