$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{k}$$
$$のときは、a, b, c のどれかは k に等しいことを証明せよ$$
[解説] まず 何を示せば証明されたことになるかを考えましょう。ポイントは $$”a, b, c のどれかは k に等しい”$$ を次のように理解するところにあります。すなわち、
$$”a, b, c のどれかは k に等しい” は$$
$$” a – k = 0, b – k = 0, c – k = 0 のどれかが成立する”$$ とまったく同じことですがいいでしょうか？
さらにこの事は $$” (a – k)(b – k)(c – k) = 0 ・・・（＊）が成立する” $$のと同じ事ですから、ここで求められている証明とは 「（＊）が成り立つことを示す」になります。
実は、目標の（＊）の左辺を展開しておくと必要な材料が分かります。
$$(a – k)(b – k)(c – k) = abc-(ab+ac+bc)k+(a+b+c)k^2-k^3$$
$$なので、a+b+c, ab+ac+bc, abc が出てくればなんとかなりそうですね。$$
（証明）問題文の二つの式から $$まず、a+b+c=k・・・①$$
$$次に \frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{1}{k}より$$
$$k(ab+ac+bc)=abc ・・・②$$
このとき、①、②を代入すれば
$$(a – k)(b – k)(c – k) = abc-(ab+ac+bc)k+(a+b+c)k^2-k^3=abc-abc+k・{k}^{2}-{k}^{3}=0$$
$$よって a, b, c のうちどれかは kに等しい。$$